Oneindigheid (4) Cirkelredenering

“Het eindige is voor het oneindige niets, een zuiver niets.” (Blaise Pascal)

“Het universum is in geen enkele richting begrensd. Als dat zo zou zijn, dan zou het ook ergens een grens moeten hebben. Maar het is overduidelijk dat, als iets een grens heeft, er ook iets buiten die grens moet zijn.” (Lucretius)

Het zou eeuwen duren vooraleer de paradox van Zeno werd opgelost. Het oneindige liet in de tussentijd de filosofen niet los. De eerste dissidente geluiden kwamen van Plotinus en Augustinus, die god als het actueel oneindige beschouwden. Aan het einde van de Middeleeuwen echter, met de revival van de werken van Aristoteles, zou het verbod op de flirt met het oneindige, nieuwe kracht worden bijgezet. In zijn Summa Theologiae schreef Thomas van Aquino:

“Het bestaan van een actueel oneindige is onmogelijk. Iedere verzameling van dingen moet een specifieke verzameling zijn. En verzamelingen van dingen worden gespecifieerd door het aantal elementen. Dat kan echter niet oneindig zijn, want ieder aantal is het resultaat van het tellen van eenheden in een verzameling. Hieruit volgt dat geen verzameling van dingen actueel onbegrensd kan zijn.”

Hoewel God zelf onbegrensd is, kunnen zijn creaties dat volgens Thomas niet zijn:

“Gods kracht mag dan absoluut onbegrensd zijn, dat maakt het nog altijd niet mogelijk dat hij een absoluut onbegrensd ding creëert, net zo goed als hij geen ‘ongemaakt’ ding kan creëren.”

Dit is een elegante conclusie, maar ze is het gevolg van een cirkelredenering. God zelf, het absolute, is volgens Thomas in ieder opzicht onvoorstelbaar. Toch kennen we volgens zijn redenering een unieke eigenschap van God: hij is onbegrensd. Maar als dat zo is, dan kunnen we ons God in elk geval in één opzicht wél voorstellen, namelijk als het enige dat onbegrensd is. Het onvoorstelbare wordt zo afhankelijk gemaakt van iets waarvan we ons een voorstelling kunnen maken, terwijl iets waarvan dat kan, volgens Thomas begrensd is. Een soortgelijke denkfout maakte Aristoteles bij het onderscheid van het actuele en potentiële oneindige. Voor hem is de mogelijkheid om elementen te kunnen tellen hét kenmerk van een verzameling. Het potentiële oneindige wijst hij af omdat we niet door kunnen tellen tot een grootste element. Maar dat betekent tegelijk – en daar gaat het fout – dat het concept van oneindigheid afhankelijk wordt gemaakt van het tellen zoals dat voor eindige verzamelingen geldt.

Hier ligt meteen ook de grote verwarring die in de loop van de geschiedenis steeds weer opduikt als het om het oneindige gaat. Wat heeft oneindigheid te maken met tellen? Wat is de precieze relatie tussen eindig en oneindig? Is oneindig hetzelfde als ‘niet eindig’ of kunnen we oneindigheid in plaats van als de ontkenning van eindigheid ook nog op een positieve, bevestigende manier denken?

De eerste wezenlijke bijdrage tot de opheldering van de mist rondom het oneindige, komt, aan het begin van de veertiende eeuw, van de Engelse scholasticus William van Ockham. Volgens hem ontstaat de hele verwarring zodra we het eindige en het oneindige als gelijkvormig opvatten, en dus behept met dezelfde eigenschappen. Van eindige verzamelingen zeggen we dat de één groter is dan de ander als het aantal elementen groter is. Volgens Ockham bestaat de verleiding om die eigenschap ook op oneindige verzamelingen toe te passen. Dat is echter niet mogelijk, meent hij, want het aantal elementen van eindige verzamelingen is bepaald, maar dat van oneindige onbepaald.

Ockham gaat nog een stap verder: er is niet één soort oneindigheid, maar er bestaan vele soorten en maten. Dat was een gedachte die tot dan toe voor volstrekt onmogelijk werd gehouden. Zou je van het oneindige iets eindigs afhalen, dan zou wat overblijft nog altijd oneindig blijven, en iets anders worden. Maar hoe zou dat kunnen? Het deel zou dan net zo groot zijn als het geheel, namelijk oneindig. Ockham zag daarin geen probleem en herleidde dit probleem tot de fundamenteel verschillende aard van eindige en oneindige verzamelingen. Daarmee was hij zijn tijdgenoten ver voor, en had hij gemakkelijk een gesprekspartner van bijvoorbeeld Wittgenstein kunnen zijn.

Het nieuwe wereldbeeld dat in de vijftiende eeuw als de zon aan de hemel van de donkere Middeleeuwen verscheen, was een belangrijke stimulans om het oneindigheidsbegrip onder de loep van de moderne natuurwetenschappen te leggen. Galilei meende in het verlengde van Ockham dat we begrippen als ‘groter’, ‘kleiner’ en ‘gelijk’ niet op dezelfde manier op eindige als op oneindige verzamelingen kunnen toepassen, en had de indruk dat voor beide soorten verzamelingen een ander soort rekenkunde gold. Ook kon het rad dat Zeno ons voor ogen had gedraaid, met de ontwikkeling van Newtons mechanica tot stilstand worden gebracht.

Immanuel Kant is de eerste filosoof die de verwarring rondom het oneindige grondig probeert te verklaren. Wie filosofeert over oneindigheid, zo meent hij, past de concepten die we aan onze ervaringswereld ontlenen, op zaken toe die in die wereld helemaal niet als concrete dingen voorkomen. We gaan het boekje van ons verstand grof te buiten. De wereld is geen ding zoals de tafel waaraan we wiskundesommetjes maken en we mogen dan ook op de kosmos niet straffeloos de instrumenten van ons verstand toepassen.